Black holes: the legacy of Hilbert's error

Leonard S. Abrams
Can. J. Phys./Rev. can. phys. 67(9): 919-926 (1989)

Full text (PDF 123 kb)    

Abstract: The historical postulates for the point mass are shown to be satisfied by an infinity of space–times, differing as to the limiting acceleration of a radially approaching test particle. Taking this limit to be infinite gives Schwarzschild's result, which for a point mass at x = y = z = 0 has C(0 +) = α², where α = 2m and C(r) denotes the coefficient of the angular terms in the polar form of the metric. Hilbert's derivation used the variable r* = [C(r)]^1/2, which transforms the coordinate location of the point mass to . For Hilbert, however, C was unknown, and thus could not be used to determine . Instead he asserted, in effect, that r* = (x² + y² + z²)^1/2, which places the point mass at r* = 0. Unfortunately, this differs from the value (α) obtained by substituting Schwarzschild's C into the expression for , and since C(0 +) is a scalar invariant, it follows that Hilbert's assertion is invalid. Owing to this error, in each spatial section of Hilbert's space –time, the boundary (r* = α) corresponding to r = 0 is no longer a point, but a two-sphere. This renders his space–time analytically extendible, and as shown by Kruskal and Fronsdal, its maximal extension contains a black hole. Thus the Kruskal–Fronsdal black hole is merely an artifact of Hilbert's error.

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Texte intégral (PDF de 123 ko)    

Résumé : Il existe un nombre infini d'espaces–temps non équivalents pour la masse ponctuelle; ils diffèrent les uns des autres quant à l'accélération limite d'une particule d'essai s'approchant radialement. En faisant cette limite infinie, on a l'espace–temps inextensible de Schwarzschild, qui a, pour une masse ponctuelle à x = y = z = 0, C(0 +) = α², où α = 2m et C(r) désigne le coefficient des termes angulaires lorsque la métrique est écrite en polaires sphériques. Hilbert utilisait dans sa dérivation la variable r* = [C(r)]^1/2, qui transforme la position de la masse ponctuelle de r₀ = 0 à . Pour Hilbert cependant, C était une inconnue, et il ne pouvait par conséquent l'utiliser pour déterminer . Au lieu de cela, il affirmait en effet que r* = (x² + y² + z²)^1/2, ce qui place la masse ponctuelle à r* = 0. Malheureusement, cette valeur diffère de la valeur (α) obtenue en substituant le C de Schwarzschild dans l'expression de ; comme C(O +) est un scalaire invariant, il s'ensuit que l'affirmation de Hilbert est invalide. Comme résultat, dans chaque section spatiale de l'espace–temps de Hilbert, la limite (r* = α) correspondant à r = 0 n'est plus un point mais une sphère bidimensionnelle et par conséquent pas une singularité quasi régulière. Cela rend son espace–temps analytiquement extensible, et, comme l'ont montré Kruskal et Fronsdal, son extension maximale contient un trou noir. Le trou noir Kruskal–Fronsdal n'est donc rien de plus qu'un produit de l'erreur de Hilbert.

[Traduit par la revue]

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