Energy and time as conjugate dynamical variables

M. Grigorescu
Can. J. Phys./Rev. can. phys. 78(11): 959-967 (2000)

Full text (PDF 81 kb)    

Abstract: The energy and time variables of the elementary classical dynamical systems are described geometrically, as canonically conjugate coordinates of an extended phase-space. It is shown that the Galilei action of the inertial equivalence group on this space is canonical, but not Hamiltonian equivariant. Although it has no effect at a classical level, the lack of equivariance makes the Galilei action inconsistent with the canonical quantization. A Hamiltonian equivariant action can be obtained by assuming that the inertial parameter in the extended phase-space is quasi-isotropic. This condition leads naturally to the Lorentz transformations between moving frames as a particular case of symplectic transformations. The limit speed appears as a constant factor relating the two additional canonical coordinates to the energy and time. Its value is identified with the speed of light by using the relationship between the electromagnetic potentials and the symplectic form of the extended phase-space.

PACS Nos.: 45.20Jj, 11.30Cp, 03.50De

Back to Table of Contents

Texte intégral (PDF de 81 ko)    

Résumé : Nous traitons les variables de temps et d'énergie de la dynamique classique élémentaire de façon géométrique, comme des variables canoniques conjuguées sur un espace de phases étendu. Nous montrons que l'action galiléenne du groupe d'équivalence inertiel sur cet espace est canonique, mais pas équivariant de Hamilton. Même si l'absence d'équivariance n'a pas de conséquence classique, elle rend l'action galiléenne incompatible avec une quantification canonique. Il est possible d'obtenir une action équivariante de Hamilton en supposant que le paramètre inertiel dans l'espace de phases étendu est quasi-isotrope. Cette condition mène naturellement à des transformations de Lorentz entre des référentiels en mouvement relatif comme correspondant à un cas particulier des transformations symplectiques. La vitesse limite apparaît comme un facteur constant reliant les deux coordonnées canoniques additionnelles aux variables de temps et d'énergie. Nous identifions sa valeur comme étant celle de la lumière en utilisant la relation entre les potentiels électro-magnétiques et la forme symplectique de l'espace de phases étendu.

[Traduit par la rédaction]

Retour à la table de matières